Mathématiques
Appliquées

Le pôle algèbre du DMA développe des outils issus de l'algèbre linéaire, de l'algèbre tensorielle et de la théorie des groupes qui trouvent des applications directes dans les problèmes d'ingénierie aérospatiale. L'algèbre linéaire numérique — décompositions matricielles, valeurs propres de grands systèmes creux, solveurs linéaires parallèles — est au cœur des méthodes d'éléments finis et des algorithmes d'assimilation de données développés dans les autres départements.

Les travaux sur l'algèbre tensorielle alimentent les méthodes de réduction de modèle du DSTI, en permettant de décomposer des espaces de paramètres de très grande dimension en produits tensoriels de sous-espaces de faible rang. Cette approche, connue sous le nom de décomposition par tenseurs de train (TT-decomposition), permet de contourner la malédiction de la dimensionnalité dans les simulations paramétrisées.

La théorie des groupes et des représentations trouve quant à elle des applications dans la physique quantique des plasmas (symétries du DPET), la cristallographie des matériaux (DSMR) et la mécanique orbitale (DAI), où les invariants algébriques caractérisent les orbites de résonance et les structures de stabilité.

L'équipe d'analyse du DMA travaille principalement sur la théorie et la résolution numérique des équations aux dérivées partielles (EDP) — les équations de la physique mathématique qui gouvernent les phénomènes de transport, de diffusion, d'onde et d'écoulement présents dans tous les domaines de la recherche aérospatiale. Les travaux portent sur l'analyse fonctionnelle des opérateurs différentiels, les formulations variationnelles et les estimations d'erreur a priori et a posteriori des schémas numériques.

Un axe de recherche prioritaire concerne les EDP singulières rencontrées dans les régimes hypersoniques — couches limites thermiques ultraminces, chocs forts, ondes de détonation — où les méthodes standards divergent ou produisent des solutions non physiques. L'équipe développe des schémas d'ordre élevé en temps et en espace, de type discontinuous Galerkin et flux limiteurs d'entropie, spécialement adaptés à ces régimes.

Une ligne de recherche fondamentale porte sur l'analyse des systèmes dynamiques et la théorie du contrôle — stabilité des points fixes, bassins d'attraction, contrôle optimal — qui fournissent les fondements mathématiques des algorithmes de navigation et de guidage développés par le DSTI pour les programmes de missions autonomes.

Le pôle topologie du DMA explore les propriétés qualitatives des espaces mathématiques qui ne sont pas affectées par les déformations continues — connexité, compacité, homotopie. Ces outils, longtemps cantonnés à la mathématique pure, connaissent un renouveau applicatif spectaculaire à travers la topologie algébrique computationnelle et l'analyse topologique des données (TDA), dont le DMA est l'un des centres de développement français.

L'analyse de persistance homologique — méthode phare de la TDA — permet d'extraire des structures topologiques significatives de nuages de points de grande dimension sans présupposer de modèle. Cette technique trouve des applications dans l'analyse des données de simulation du DSTI (détection de structures cohérentes dans les écoulements turbulents), dans la géologie planétaire du DSVT (identification de réseaux de fractures) et dans l'analyse des données d'instruments astrophysiques du DAI.

Un programme prospectif explore la géométrie différentielle des variétés de configuration pour les mécanismes de déploiement spatial et les robots souples, en lien avec les travaux sur les structures adaptatives du DSMR. La description intrinsèque des espaces de configuration par des outils de géométrie riemannienne permet de concevoir des planificateurs de trajectoire plus efficaces et plus robustes.

L'équipe probabilités et statistiques du DMA développe les méthodes mathématiques permettant de raisonner, modéliser et décider en présence d'incertitude — une problématique omniprésente en ingénierie spatiale. Des incertitudes de fabrication aux aléas des environnements orbitaux, en passant par les erreurs de mesure et les modèles partiellement connus, le traitement rigoureux de l'incertitude est une condition sine qua non de la fiabilité des systèmes.

Les travaux portent sur la propagation d'incertitudes dans les simulateurs multi-physiques — méthodes de Monte-Carlo avancées, chaos polynomial, plans d'expériences numériques — ainsi que sur l'analyse de sensibilité globale (indices de Sobol) permettant d'identifier les paramètres d'entrée les plus influents sur les sorties d'un code de simulation complexe. Ces méthodes sont directement utilisées par le DSTI pour la validation de COSMOS-3.

Un pôle statistique dédié développe des méthodes d'inférence bayésienne pour la fusion de données hétérogènes — mesures expérimentales, données de simulation, modèles physiques a priori — dans le contexte de la calibration d'instruments embarqués et du recalage de modèles structuraux en service. Ces approches sont au cœur des jumeaux numériques développés par le DSTI.